Rod Mișcarea • Igor Ivanov • Probleme științifice populare asupra elementelor • Fizică

Miscarea Rod

Cu siguranță, toată lumea își amintește acele șir de probleme mecanice similare și plictisitoare care trebuiau rezolvate la școală, iar altele la liceu. Majoritatea covârșitoare a acestor sarcini este foarte plictisitoare – trebuie să ia formule standard memorate, să se substituie reciproc, să adauge uneori numere și să obțină un răspuns fără răspuns. Asemenea sarcini sunt date pur și simplu pentru a consolida materialul, iar în ele, de regulă, nu este chiar necesar ca persoana care decide să-și imagineze fenomenul.

Cu toate acestea, chiar și în mecanica simplă există și alte sarcini – sarcini care necesită cea mai mare parte. să gândești. Ele nu sunt neapărat complexe, iar o mulțime de formule școlare pot fi deseori eliminate pentru a le rezolva. Cu toate acestea, pentru a ghici ce anume să scrieți și unde să căutăm în căutarea unui răspuns, sistemul mecanic al acestei sarcini trebuie să fie bine "simțit". În astfel de probleme, uneori există capcane mici sau paradoxuri par a fi, cel puțin din punctul de vedere al unei intuiții "obișnuite", antrenate în rezolvarea problemelor simple tipice. Și în sfârșit, atunci când rezolvăm astfel de probleme, există chiar și tehnici neașteptate care seamănă vag cu metodele fizicii teoretice reale.Sarcina propusă mai jos, mi se pare, este doar din această serie.

Fig. 1. Capătul inferior al tijei, așezat pe un perete și podea netedă, începe să tragă cu o viteză constantă.v. Care este viteza punctului A când atinge podeaua? (Figura autorului problemei)

sarcină

La capetele unei tije subțiri, fără greutate și absolut rigide de lungime L există două puncte materiale de masă m fiecare. Inițial, tija se sprijinea pe un perete vertical la un anumit unghi și se sprijină cu capătul A de pe perete și de capătul B de pe podea. Luăm capătul inferior al tijei și tragem spre dreapta cu o viteză mică dar constantă. v. Tija începe să se miște în jos și după un timp cade la podea. Totul se întâmplă în câmpul de gravitate; fricțiunea tijei de perete și a podelei este absentă.
întrebare: Care este viteza punctului A în momentul atingerii podelei?


Sfat 1

Pare destul de natural ca în cazul vitezei v este mic, apoi tija va aluneca, bazându-se pe perete până la capătul celălalt. În acest caz, relația dintre vitezele punctelor A și B se găsește cu ușurință și ne conduce la următorul răspuns: viteza punctului A în momentul atingerii podelei fără sfârșit.

Un astfel de răspuns, desigur, este nesatisfăcător.Ideea nu este chiar că "nu există infinități în natură" sau "este imposibil să depășim viteza luminii" – dacă doriți, puteți vorbi despre aceste obiecții. Problema aici este că un astfel de răspuns ciudat apare într-o situație care pare complet realizabilă fără niște trucuri speciale. Putem lua o bastonă de lumină cu o lungime de 10 cm și trageți capătul la o viteză de 1 cm / sec – dar răspunsul ne spune că, chiar și cu un efort atât de modest, putem accelera obiectul la o viteză arbitrar de mare! Este evident (cel puțin pe baza legii conservării energiei) că ceva nu este în regulă aici. Diverse clarificări cu privire la proprietățile baghetei, la absența fricțiunii etc. au fost introduse doar pentru simplitatea calculelor și imaginea fundamentală nu se modifică.

Răspunsul "infinit" este într-adevăr greșit. Și sa dovedit nu din cauza unei erori aritmetice în calcule, ci din cauza unei ipoteze nejustificate despre mișcarea barei, care a fost făcută în procesul de calcule. Pentru a ajunge la răspunsul corect, este necesar să găsiți și să corectați această greșeală.


Sfat 2

Omisiunea, care a fost discutată mai sus, este presupunerea că bagheta va întotdeauna, până la capăt, se va baza pe perete.De fapt, la un unghi mic, bagheta va începe să se îndepărteze de perete, astfel încât capătul liber va cădea liber, fără a avea timp să ajungă la perete. Sarcina ca rezultat este împărțită în două etape separate. La început, este necesar să se demonstreze că într-adevăr, este timpul de separare, și de a găsi, la orice unghi de înclinare de acest lucru se întâmplă, și doar apoi decide să se separe problema de mișcare și care se încadrează băț, dar fără pereți.

În primul rând, să primim răspunsul greșit care duce la infinit. Dacă bastonul cu lungimea fixă ​​atinge peretele și podeaua, atunci distanța x și y de teorema pitagoreană sunt legate de relația: x2 + y2 = L2. Lasati la un moment dat panta α. atunci y/x = tg α.

Fig. 2. Pentru a calcula relația dintre viteze vA și vB util pentru a merge la sistemul de referință de la punctul B. (Figura autorului problemei)

Viteze de alunecare vA și vB = v prea legați împreună datorită inextensibilității bastoanelor. Pentru a găsi această relație, puteți merge la sistemul de referință de la punctul B (vezi figura 2). În acest cadru de referință, punctul B este fixat și bagheta se deplasează, sprijinindu-se pe peretele glisant. Viteza punctului A din acest cadru de referință trebuie direcționată astfel încât bagheta să nu se întindă sau să se prindă. Din trigonometria simplă obținem relația: vA = v· Ctg α. Dacă presupunem că contactul cu peretele durează până în toamnă (α = 0), apoi conform acestei formule vA în acest moment tinde spre infinit.

Cum să înțelegeți la ce punct bagheta se va opri să atingă peretele? Pentru a face acest lucru, trebuie să trecem de la cinematică la dinamică – adică trebuie să "simțim" toate forțele care acționează în ambele puncte A și B, în timp ce tija atinge atât peretele cât și podeaua. Un echilibru detaliat al forțelor pentru ambele puncte, având în vedere faptul că se deplasează strict pe pereții lor, este propus să scrie independent. Trebuie să vă asigurați că separarea de perete va avea loc exact în momentul în care forța tensiunii va deveni zero – adică atunci când tija din starea "stoarcere" intră în starea "elastică". După aceea, rămâne să găsim unghiul la care se întâmplă acest lucru, apoi treceți la etapa a doua.


decizie

Vom continua pas cu pas. Pasul 1 (relația dintre vitezele punctelor A și B cu dublă tangență) a fost deja făcută mai sus.

Fig. 3. Forțele care acționează la ambele capete ale tijei, în cazul în care atinge peretele și podeaua. În roșu arată forțele provocate de rezistența materialelor, albastru – gravitatea verde – puterea noastrăFnostrucare ar trebui să țină punctul B de la accelerare. (Figura autorului problemei)

Pasul 2. Se notează toate forțele care acționează în punctele A și B orizontal și vertical, cu o dublă tangență:

Punctul A: x: –T· Cos α + FA = 0, y: T· Sin αmg = maA,

Punctul B: x: T· Cos α + Fnostru = 0, y: –T· Sin αmg + FB = 0.

aici FA și FB – forțele de reacție ale suportului din partea peretelui și a podelei, care sunt strict perpendiculare pe suprafață, T – puterea tensiunii barei, pe care o considerăm pozitivă dacă tija este comprimată și negativă – dacă este întinsă (de aceea spunem "forța de tensionare", nu "forța de tensionare"). Amintiți-vă că bara este absolut rigidă, astfel încât forțele care acționează în ea – fie o forță de stoarcere sau o forță de tracțiune – nu își schimbă lungimea, ci afectează echilibrul forțelor la capete. în cele din urmă, Fnostru – aceasta este forța "noastră" pe care o aplicăm la punctul inferior, astfel încât să se miște fără accelerare, dar numai cu o viteză constantă v. Această forță nu este cunoscută și, în plus, este variabilă: în fiecare moment de timp este reglată astfel încât să compenseze cealaltă forță care acționează pe punctul B orizontal.

Rețineți că dacă forța de tensiune poate fi atât pozitivă, cât și negativă, atunci forța de reacție a suportului poate fi pozitivă. Suportul forței de reacție negative FA ar însemna ca tija să fie blocată pe perete și să tragem tija spre noi înșine și să încercăm să o rupem. Acest lucru nu se poate întâmpla în sarcina noastră, deoarece, prin ipoteză, tijă este pur și simplu sprijinită de perete.

Privind aceste formule, este ușor de înțeles ce se întâmplă în momentul în care tija nu mai atinge peretele. Atâta timp cât el se bazează pe ea, puterea FA este pozitiv și înseamnă tensiune T de asemenea pozitiv. Aceeași forță de tensiune împinge punctul B înainte, ceea ce înseamnă forța noastră externă Fnostru negativ, adică îndreptat spre perete. Cu alte cuvinte, pentru ca sfârșitul tijei să se miște cu o viteză constantă, trebuie să fim nu trageți și împingeți-o împotriva mișcăriirezistând forței de rulare transmise peste tija.

De îndată ce forța tensiunii se schimbă la negativ, în punctul de contact cu peretele, forța de reacție a suportului nu va mai acționa: FA = 0. Atunci, forța nu poate compensa proiecția orizontală a forței. T, iar punctul A va începe să se îndepărteze de perete ca rezultat. Prin urmare, este T = 0 (și prin urmare Fnostru = 0) este momentul în care va avea loc separarea.

Pasul 3. Acum trebuie să aflați la ce unghi se va întâmpla. Acest lucru se poate face în mai multe moduri, dar aici vreau să demonstrez un truc oarecum neobișnuit.Vom arăta acum acest lucru sarcina noastră din punct de vedere matematic este complet echivalentă cu o altă problemă, destul de diferit de original. Vom putea rezolva această problemă fără dificultate și, astfel, vom primi un răspuns la întrebarea de interes pentru noi.

Fig. 4. Problema alunecării unei tije împotriva unui perete este matematic echivalentă cu problema mișcării unui punct material de-a lungul unui deal semicircular într-un câmp de gravitație slăbit. (Figura autorului problemei)

Să acordăm atenție traiectoriei, care descrie centrul de masă al tijei în timpul alunecării. Dacă tija atinge atât pereții cât și podeaua cu capetele sale, atunci centrul de masă se deplasează de-a lungul unui arc cu o rază R = L/ 2, prezentată în Fig. 4, în partea stângă. Dacă tija atinge doar podeaua, atunci centrul de masă poate fi oriunde în dreapta arcului. Ia sub centrul "arcului" de masă nu poate în nici un fel. Prin urmare, sarcina inițială – alunecarea tijei de-a lungul peretelui și apoi detașarea acestuia – din punctul de vedere al centrului mișcării în masă, arată astfel: centrul maselor alunecă de-a lungul unui deal semicircular fără frecare și, într-un moment, se descompune de el (vezi fig.4, dreapta) .

Pentru ca această analogie verbală să devină echivalentul matematic complet, vom rescrie energia potențială și cinetică a tijei în problema originală

prin masa centrului de masă (mcm = 2m), orizontală (vx = vB/ 2) și verticală (vy = vA/ 2) viteza centrului de masă, precum și înălțimea sa:

Fiți atenți la deuce suplimentare în energia cinetică; a apărut pentru că, pe lângă mișcarea centrului de masă, tija se rotește și, în cazul nostru simplu, energia cinetică de rotație este egală cu energia cinetică a mișcării centrului de masă. Aceasta înseamnă că sarcina nu poate fi redusă pur și simplu la mișcarea centrului de masă. Totuși, dacă rescrieți aceste energii ca aceasta

unde M = 2mcm = 4m, și = g/ 2 și viteza

atunci toate formulele devin obișnuite. Astfel, concluzionăm: sarcina noastră este echivalentă matematic cu problema alunecării unui singur punct material cu o masă M = 4m pe un deal semicircular de rază R = L/ 2 într-un câmp gravitațional slab cu accelerație gravitațională o = g/2. Toate acestea se întâmplă și sub influența forței orizontale suplimentare (analog Fnostru), care asigură constanța vitezei orizontale a punctului (vx = v/ 2). Din geometrie, este clar că acest unghi αla care un punct rupe un deal, este exact egal cu unghiul la care tija se îndepărtează de perete în problema inițială. Acest unghi este necesar pentru a găsi.

Această sarcină este ușor de rezolvat. Pentru masa corporală M se deplasează în jurul unui cerc de rază R cu viteza u, este necesar ca forța centripetală să fie egală Mu2/R. Această forță în cazul nostru constă în proiecția gravitației. Ma· Sin α, precum și forțele de reacție de susținere și proiecție a forței Fnostru. În momentul separării, ultimele două forțe dispar și acest lucru ne permite să notăm definitiv situația într-un unghi α:

De aici găsim:

Deoarece sinusul nu este niciodată mai mare decât unul, și v și L sunt stabilite în condiție independent, obținem două ramificații ale problemei: dacă viteza este mare, separarea va avea loc imediat și apoi tija va cădea liber. Dacă viteza este destul de mică (așa cum se presupunea în condiție), atunci separarea nu va avea loc imediat, ci într-un unghi αspecificată de formula găsită. De asemenea, este de remarcat faptul că aceeași formulă ar putea fi găsită luând în considerare problema inițială din sistemul de referință din punctul B (figura 2, dreapta) și înregistrarea accelerației centripetale pentru punctul A

Pasul 4. Rămâne să se calculeze căderea liberă a tijei de la unghiul inițial α. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este de a reveni la sistemul de referință (inerțial), unde punctul B este în repaus (figura 2, din dreapta, dar numai fără perete). În acest cadru, puterea Fnostru atașat la un punct fix și, prin urmare, nu funcționează.Deci, în acest sistem de referință, puteți utiliza legea de conservare a energiei:

Viteza u1 este viteza (verticală) a punctului A din acest cadru de referință în momentul atingerii podelei. Revenind la rama originală, primim răspunsul final:


postfață

Având infinitatea încă de la început, am fost surprinși de neconcordanța acestui răspuns cu eforturile care trebuie excluse pentru realizarea experimentală a unei astfel de situații. Apoi, totuși, am realizat că acest răspuns nesfârșit este obținut din cauza presupunerii că contactul cu peretele rămâne până la capăt – o ipoteză eronată pentru sarcina noastră.

Dar putem lua în considerare o altă problemă, în care capătul superior al tijei este atașat fizic de perete, astfel încât să poată aluneca de-a lungul acestuia, dar nu se poate rupe singur. O astfel de situație pare destul de realizabilă experimental. Deci cum să înțelegeți în acest caz răspunsul nesfârșit? În această privință, invit cititorii să gândească independent.

În concluzie, vreau să vorbesc separat despre tehnica pe care am folosit-o pentru rezolvarea problemei la pasul 3. În fizică, se întâmplă deseori ca și probleme fizice complet diferite să fie descrise în același mod din punctul de vedere al matematicii.În exemplul nostru, acestea erau două sisteme mecanice, complet diferite unul vizual unul de celălalt: prima este o tija care se sprijină pe un perete și o podea plată, al doilea este un punct alunecând de-a lungul unui deal rotund și, în plus, în condiții de gravitate slăbită. Cu toate acestea, am stabilit între ele "podul matematic", iar datorită lui, soluția celei de-a doua probleme a oferit automat o soluție primului.

Aici trebuie să înțelegem că acest al doilea sistem mecanic nu a fost în realitate. Nu are sens să întrebați: unde este într-adevăr acest punct de masă ciudat M = 4m și de ce este înjumătățită accelerarea caderii libere? Era ca o lume virtuală pe care ne-am construit și în care sarcina inițială a fost refracționată dintr-un unghi nou.

În cazul nostru, desigur, nu era necesar să facem acest lucru, deoarece sarcina inițială este destul de simplă. Dar în alte ramuri ale fizicii pentru rezolvarea problemelor mult mai dificile, uneori această metodă se dovedește a fi foarte puternică. Pentru unul dintre cele mai recente exemple de astfel de "punte matematică" între sucursalele complet diferite ale fizicii, vedeți știrile. Ideile teoriei superstructurilor sunt folosite în fizica materiei condensate.


Like this post? Please share to your friends:
Lasă un răspuns

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: