Impulsul ergodic și sinteza ideilor

Impulsul ergodic și sinteza ideilor

Ilya Shkredov
"Opțiunea Trinității" №16 (260), 14 august 2018

Ilya Shkredov

Membru corespondent al Academiei de Științe din Rusia, dr. nat. -MAT. Științe, Ch. științifice. și colab. teoria numărului departamentului mian Ilya Shkredov deschide o serie de publicații în TrV-Science despre câștigătorii celor mai mari premii matematice din 2018.

Akshay Venkatesh (1981) – matematician australian de origine indiană, profesor la Universitatea Stanford, câștigător al multor premii internaționale de prestigiu (precum premiile Salem, Ramanujan, Ostrovsky etc.) a primit medalia Fields 2018 pentru sinteza teoriei numerelor analitice , dinamica omogenă, topologia și teoria reprezentării, care au permis rezolvarea problemelor vechi ale acestor domenii legate de distribuirea uniformă a obiectelor aritmetice. "

În seria de lucrări, Venkatesh a descoperit câteva noi relații între aceste domenii ale matematicii și le-a îmbogățit reciproc prin crearea de noi instrumente matematice. Unul dintre primii a început să folosească în mod sistematic o varietate de teoreme privind distribuția uniformă, în loc de rezultatele obișnuite cu numărul teoretic pe mijloc. Venkatesh singur și coautorii au obținut rezultate importante asupra distribuției uniforme a Heigen-Maass eigenfunctions, a estimat coeficienții formelor automorfic,s-au dovedit versiuni eficiente ale teoremelor Furstenberg și Rudolph-Johnson.


Akshay Venkatesh, singurul australian care a câștigat medalii la concursuri internaționale, atât în ​​fizică, cât și în matematică, și a făcut-o la vârsta de 11-12 ani. Supraveghetorul lui Venkatesh a fost un alt teatru de teatru, câștigător al multor premii internaționale, inclusiv Premiul Wolf, profesor la Universitatea Princeton din Universitatea Princeton.


Akshay Venkatesh (foto de la matematica.stanford.edu)

El a găsit o nouă metodă în teoria convexității funcțiilor L, folosind metodele teoriei ergodice avansate în principiul local-global pentru reprezentări de forme patratice (aceasta este prima utilizare a sistemelor dinamice în găsirea soluțiilor întregi de acest tip de ecuații), a rezolvat problema cubică a lui Linnik de distribuție uniformă a toricului periodic orbite etc.

Nu există nici o modalitate de a vorbi despre toate matematica profundă în care este implicată Venkatesh, inclusiv datorită faptului că adesea se află puțin mai departe de propriile interese, așa că mă voi concentra numai pe două parcele, mai ales aproape de mine.

În prima lucrare (comun.cu Burgan, Lindenstrauss și Michel) studiază problema clasică Furstenberg. Luați în considerare cel mai simplu sistem dinamic din intervalul [0,1]. Luați un punct și înmulțiți-l cu doi. Dacă rezultatul multiplicării este mai mare de 1, atunci scădem 1. 1. Înmulțirea specificată în acest fel lasă întotdeauna rezultatul multiplicării în interiorul segmentului, ceea ce înseamnă că sistemul nostru dinamic este descris complet. Ce se poate spune despre traiectoria oricărui punct (spun, irațional) în cadrul acțiunii acestui sistem dinamic?

Vor, așa cum se spune, această cale să fie peste tot densă, adică să vizitați un subsegment arbitrar mic al segmentului nostru? Se pare că, deși traiectoria unui punct luat la întâmplare va fi peste tot densă, totuși vor exista puncte la care traiectoria ar putea fi, de exemplu, periodică.

Desigur, se poate multiplica nu numai prin două, ci și prin trei. Rezultatul clasic al lui Furstenberg afirmă că, dacă în sistemul nostru se permite multiplicarea cu două sau trei, atunci deja la orice punct irațional traiectoria va fi peste tot densă. Teorema Furstenberg este un rezultat calitativ – un cantitativ, adică câte multiplicări de două sau trei trebuie făcute pentru a intra în acest segment și a fost obținut de Venkatesh și co-autori.

Este remarcabil faptul că, în dovadă, autorii au aplicat nu doar metodele sistemelor dinamice, care sunt naturale, ci și teoria sumelor produselor dintr-o știință discretă, aparent complet diferită, adiacentă teoriei numerelor, combinatoricii aditivilor. Lucrarea lui Venkatesh deschide o nouă relație între aceste două domenii și introduce noi metode și teoreme pentru fiecare dintre ele.

A doua lucrare pe care o analizăm (împreună cu Ainsidler, Lindenstrauss și Michel) se ocupă de celebra sarcină a compatriotului nostru, matematicianul Leningrad, Yuri Vladimirovich Linnik.

După cum se știe, prin teorema Lagrange, fiecare număr întreg pozitiv este suma a patru pătrate. De exemplu, 7 = 22 + 12 + 12 + 12. Ce puteți spune despre suma a trei pătrate? Este bine cunoscut (Legendre) că suma a trei pătrate nu reprezintă toate numerele naturale, ci doar cele care nu pot fi scrise ca 4n (8m + 7). De exemplu, numărul 7 nu poate fi reprezentat ca suma a trei pătrate și are doar această formă (n = m = 0).

Teoria lui Lagrange și rezultatul lui Legendre sunt exemple particulare ale problemei Waring mai largi a reprezentabilității numerelor naturale ca o sumă de mai multe grade, de exemplu, ca o sumă de șapte cuburi, șaisprezece-patru grade etc.În acest domeniu s-au creat metode analitice puternice, cum ar fi metoda circulară Hardy-Littlewood și metoda sumelor trigonometrice ale lui I. M. Vinogradov.

Particularitatea acestor metode nu reprezintă o reprezentare explicită a unui număr ca o sumă de grade, ci doar o dovadă că există astfel de reprezentări sau soluții. Y. V Linnik (1968) a ridicat problema comportării acestor soluții în cazul sumei a trei pătrate (pentru că din unele motive simple acest caz este cel mai interesant) și a obținut aici primele rezultate importante. El a sugerat și a demonstrat parțial că dacă soluțiile sunt cartografiate pe o sferă obișnuită, ele vor forma un set uniform distribuit pe această sferă. În procesul de demonstrație, Linnik a creat metoda originală ergodică în teoria numerelor.

Fields Medal (Fotografie de la cms.math.ca)

Cu toate acestea, problema Linnik a fost complet rezolvată abia după 20 de ani de către Duke folosind tehnica analitică clasică. Prin urmare, deși abordarea ergodică a lui Linnik a permis avansarea în alte probleme legate de distribuția soluțiilor (să menționăm, de exemplu, lucrarea lui Skubenko asupra punctelor întregi pe un hiperboloid unipolar, precum și alte rezultate ale Școlii de teoria numerelor din St. Petersburg), metoda lui remarcabilă a fost partea.

În lucrarea sa (2012), Venkatesh și coautorii săi reînnoiesc abordarea ergodică a lui Linnick, legând-o cu tehnologia entropiei moderne și, bineînțeles, adăugând o mulțime de lucruri noi. Cu toate acestea, ele se dovedesc a fi mult mai puternice și mai generale decât Duke. În general, se poate spune că impulsul ergodic care vine de la Linnik rulează ca un fir roșu prin lucrarea lui Venkatesh.

Utilizarea sistematică a ideilor dinamice (distribuția uniformă, amestecarea, spectrul și diferența spectrală, entropia, teoriile Ratner etc.) în teoria numerelor este una din trăsăturile stilului matematic al lui Akshay Venkatesh. Putem spune că, în loc de abordările teoretice clasice "afine" cu încorporabilitate trivială și de un grup valid, cum ar fi metoda Hardy-Littlwood, Venkatesh a sugerat studierea proprietăților obiectelor aritmetice, luând în considerare acțiunile grupurilor mai complexe în spații mai complexe. Este deosebit de plăcut ca matematicienii locali, cum ar fi Linnik, să aibă o influență indiscutabilă asupra acestui nou concept.

Aflați mai multe despre Premiul pentru domeniul 2018


Like this post? Please share to your friends:
Lasă un răspuns

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: