"Hard" tilings • Khaidar Nurligareev • Lucrări științifice populare pe "Elemente" • Matematică

„Hard” tilings

sarcină

Este ușor de a tigla planul cu plăci triunghiulare identice (fig.1, stânga). O astfel de schemă este potrivită pentru orice triunghi. Putem spune că acest tigla este "non-rigidă" în sensul că dacă schimbăm puțin proporțiile triunghiurilor (ele trebuie să fie egale), atunci din nou obținem o placare a planului conform acestei scheme (figura 1, dreapta).

Fig. 1.

Dar se întâmplă într-un mod diferit. Uită-te la pic. 2: și aici, toate triunghiurile sunt egale, dar această schemă funcționează numai pentru proporții complet specifice de triunghiuri. Putem spune că o astfel de înclinare este "greu".

Fig. 2.

a) Presupunând că toate triunghiurile din fig. 2 sunt egale găsi unghiurile și rapoartele de aspect. Dovedeste-ocă din figura ei sunt determinate fără echivoc.

b) Vino cu tine "greu" tigla de quadrangles egal convexe.

c) Vino cu tine tare "tare" a pentagonelor egale (nu neapărat convexe).


Sfat 1

a) Pentru a obține condiția pe care trebuie să o satisfacă unghiurile triunghiului, este suficient să folosim faptul că suma unghiurilor adiacente fiecărui vârf este de 360 ​​°. Și pentru a căuta condiții pe laturi, este util să luăm în considerare segmentele formate de mai multe laturi ale triunghiurilor adiacente.

Rețineți că unghiurile și laturile nu se pot schimba independent una de alta, ele sunt interdependente. Mai mult decât atât, relația dintre unghiuri și rapoartele de aspect este una-la-unu. De fapt, știind raportul de aspect, puteți determina valorile unghiurilor de teorema cosinusului. Și știind unghiurile, puteți găsi raportul de aspect prin teorema sinusoidală. Astfel, pentru a rezolva problema, este suficient să găsim doar două ecuații pe laturi sau unghiuri.


Sfat 2

b), c) Ideea de bază este după cum urmează. Pentru ca tigla să fie "dură", copiile aceleiași plăci incluse în ea trebuie să fie în contact între ele în cât mai multe moduri posibile. Apoi, fiecare astfel de metodă va da o ecuație pentru unghiuri și laturi, și mai multe ecuații – cu mai puține grade de libertate.

Există mai multe modalități de a încerca să construiți o astfel de țiglă, copiile cărora ar putea fi aplicate unii altora în moduri diferite. Unul dintre ele este acela de a impune anumite limite caracteristice plăcii. De exemplu, căutați-o în clasa de poligoane cu laturi paralele. Sau printre plăci, care părți sunt egale. Ar putea fi, de asemenea, o idee bună să luați în considerare unghiurile care se împart în 360 ° și sunt multipli de ele.

O altă posibilitate este de a încerca să folosim talgeri deja cunoscuți, de exemplu, cum ar fi în fig. 3. Apoi, trebuie să încercați să faceți o nouă țiglă din mai multe plăci sau bucăți de plăci care sunt incluse în pavajele originale. Iar apoi, din copiile plăcii rezultate, să se pună pavimentul "dur", în contururile cărora se va ghici pavajul original.

Fig. 3.


decizie

a) Indicați laturile și colțurile unei plăci triunghiulare așa cum este arătat în partea stângă în Fig. 4. Apoi, luarea în considerare a segmentului format de laturile a patru triunghiuri (în mijlocul din figura 4) ne permite să obținem un raport la laturile: o + c = 2b. Și privind la vârf, în care se converg trei triunghiuri (în dreapta în figura 4), înțelegem că 2γ = 180 °. Astfel, γ = 90 °, adică triunghiul este dreptunghiular. Deci, ea satisface teorema lui Pitagora: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Fig. 4.

Acum, pentru a găsi relațiile dorite, calcule destul de simple:

\ (a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

De aici ajungem

\ a (a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ \ dfrac % %. \]

În consecință, unghiurile triunghiului sunt egale \ (\ arcsin \ dfrac % % = arcsin \ dfrac % %, \) \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ % \)

b) Luați în considerare un trapez dreptunghiular compus dintr-un pătrat și un triunghi drept, egal cu jumătate din acest pătrat (figura 5, stânga). Copiile acestui trapez pot fi atașate una de alta în multe moduri diferite.Deoarece dorim ca stratul rezultat să fie "greu", pentru început, trebuie să realizăm astfel de configurații din plăcile trapezoidale specificate care vor defini relațiile laturilor și unghiurile trapezoidului fără echivoc. Acest lucru este ușor de realizat. De exemplu, punerea împreună a figurilor a patru plăci arătate în fig. 5, vom atinge egalitatea γ = δ = 90 °, iar după realizarea unei cruci din opt plăci obținem condiția α = 45 °. Dacă de la trei plăci pentru a colecta figura arătată în Fig. 5 în dreapta, apoi la egalitate 2o = b.

Fig. 5.

Evident, dacă un quadrilateral îndeplinește cele patru egalități de mai sus, atunci acesta reprezintă cu siguranță trapezoidul nostru dreptunghiular. Prin urmare, orice tigla în care se întâlnesc toate configurațiile menționate mai sus se va dovedi cu siguranță "tare" în sensul că, în conformitate cu aceeași schemă, nu va fi posibilă îndoirea plăcilor din orice alt quadrangle. Există nenumărate tiluri similare; de exemplu, acesta este tigla prezentată în fig. 6.

Fig. 6.

Rețineți că, deși tigla din Fig. 6 conform definiției noastre de "greu", este ușor supusă deformării: puteți mișca liber gresie,situate pe același rând orizontal sau vertical de-a lungul liniei drepte corespunzătoare. Acest lucru poate fi evitat prin adăugarea acestora într-un alt mod. De exemplu, după cum se arată în Fig. 7.

Fig. 7.

c) În centrul plăcerilor prezentate în Fig. 6 și fig. 7, puteți ghici parchetul standard de pătrate (figura 3, dreapta). Vom arăta cum într-un mod similar se poate obține o "imagine dură" a pentagonilor neconvexi, folosind ca baza baza de triunghiuri (fig.3, stânga). Pentru a face acest lucru, luați o țiglă formată din două triunghiuri regulate și încă două jumătăți de astfel de triunghiuri (fig.8, stânga).

Fig. 8.

Ca și în paragraful anterior, specificăm mai întâi patru configurații care definesc placa pe care o considerăm în mod unic. Acestea sunt arătate în fig. 8. Primul dintre ele stabilește unghiul ε = 90 °. Al doilea vă permite să scrieți relația 3γ + 2ε = 360 ° și deoarece unghiul ε este deja fix, obținem γ = 60 °. În mod similar, a treia configurație dă egalitatea α + γ + 3ε = 360 °, de unde α = 30 °. În cele din urmă, ultima configurație ne permite să înțelegem că β + 2γ = 360 °, adică β = 240 °. În ceea ce privește unghiul δ, el se determină pe baza faptului că suma unghiurilor pentagonului este de 540 ° și δ = 120 °.

Fig. 9.

Se pare că numai configurația arătată în mijloc în fig. 8, suficient pentru egalitate b = e = o = d. Prin urmare, cele patru configurații de mai sus definesc cu adevărat placa pentagonală în mod unic. Astfel, rămâne să dăm un exemplu de tigla care include toate acestea. Când o construim, ideea de a construi benzi ajută: în primul rând, cu copii ale plăcilor noastre, generăm o bandă infinită care poate fi aplicată la sine (fig.9). Apoi acoperim întregul plan cu astfel de dungi (Figura 10). Observăm aplicabilitatea largă a ideii de proiectare a fâșiilor: o structură similară cu "dungi" are ambele înclinări pe care le-am construit atunci când rezolvăm punctul b)și, în general, orice pardoseală periodică, de fapt, este alcătuită din benzi. Cu toate acestea, cazul nu se limitează la înclinări periodice (așa cum se poate observa, de exemplu, în cazul problemei Polamimina Parqueta).

Fig. 10.

În exemplul nostru, țigla nu este convexă, dar aceasta nu este absolut o condiție prealabilă pentru a genera un "pavaj dur". Luați în considerare placa pentagonală prezentată în fig. 11 – este compus dintr-un triunghi pătrat și doi drepți cu un unghi mai mic de 22,5 °.Se dovedește că copii ale unei astfel de plăci pot fi, de asemenea, acoperite cu un plan "dur", așa cum este arătat în dreapta în Fig. 11. Adevărat, acest lucru este oarecum mai dificil de dovedit decât "rigiditatea" greutăților pe care le-am întâlnit mai devreme. Cu toate acestea, să evidențiem principalele puncte ale acestei dovezi.

Fig. 11.

În primul rând, din schema conform căreia plăcile sunt stivuite, este clar că laturile satisfac relațiile o = e = b și c = b + d. În ceea ce privește colțurile, pot fi compilate patru ecuații, din care este clar că α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° și β + 180 ° = 2γ. Prin urmare, prin introducerea unghiului φ = δ / 2, putem exprima celelalte unghiuri prin el:

– \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ \ = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Acum ideea principală este după cum urmează. Pentru ca tigla să fie "dură", este necesar să nu aibă grade de libertate. În prezent, țigla noastră are doi parametri pe care le putem varia: unghiul φ și raportul de aspect o și d. Cu toate acestea, aceste modificări nu pot fi arbitrare, deoarece parametrii sunt corelați. Dacă, după analizarea naturii acestei conexiuni, vom arăta că numai un număr finit de unghiuri posibile și rapoarte de aspect sunt realizate pentru această schemă, atunci va urma imediat că tigla dorită este "greu".

Introducem notația așa cum se arată în stânga jos din Fig. 11. Deoarece CDEF – trapez echilateral, apoi baza

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Prin urmare, putem găsi raportul dintre segmente o și dexprimând un segment BF de teorema cosinusului în triunghiuri ABF și CBF:

\ (B ^ ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2 ^ ^ ^ 2 cos (180 ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Transformarea, ajungem

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Pe de altă parte, putem găsi raportul dintre segmente o și dexprimând un segment AC de teorema cosinusului în triunghiuri ABC și AFC:

\ (A ^ 2 ^ d ^ 2 ^ cos \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Dacă \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), adică, dacă pentagonul este diferit de cel al nostru, ajungem la următoarea egalitate:

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

În special, se poate vedea de aici că acest lucru este posibil numai cu \ (\ cos2 \ varphi <0 \) și

\ Cos \ varfi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 cos \ \ varphi-1) ^ 2}. \]

Ultima ecuație poate avea doar un număr finit de soluții. Astfel, pavajul în cauză este "greu".


postfață

Toate tilings discutate mai sus ca parte a acestei sarcini, folosit practic o singura placi poligonale. Am copiat această placă și apoi am acoperit întregul avion cu copii fără goluri și suprapuneri. Astfel de taluzuri sunt numite monoedralnymiși poligonul de bază este protoplitkoy. După cum am văzut, chiar și în ciuda interdicției de a folosi plăci de diferite tipuri, imaginile rezultate au fost foarte diverse. În multe cazuri, înclinările cu acest protoplite se dovedesc a fi infinit de multe, mai mult – numarul lor nesemnificativ. În același timp, pentru alte protoplicuri (cum ar fi, de exemplu, pentru un hexagon obișnuit), tigla este unică, iar unele protoplite nu permit în nici un fel placarea.

Ar fi normal să ne întrebăm cum, prin forma unui poligon dat, să înțeleagă dacă este posibil să se potrivească un avion cu copiile lui. Cu toate acestea, algoritmul care ar permite să răspundă la această întrebare, după ce a primit o dală la intrare și la ieșirea care a dat rezultatul "da" sau "nu", nu este cunoscut omenirii. Mai mult decât atât, există motive serioase de îndoială că există în principiu. Vom discuta pe scurt ce ar putea interfera cu acest lucru. Pentru aceasta, va fi util să cunoaștem, cel puțin superficial, grupul de simetrii ale tilings.

simetrie Această placă este numită o astfel de mișcare a planului, care traduce această placă în sine. Aproximativ, dacă te-ai uitat la înclinare pentru o lungă perioadă de timp, apoi te-ai întors,dar cineva din spatele tău mișcă toate plăcile, astfel încât, în primul rând, distanțele dintre plăci să fie păstrate și, în al doilea rând, să te întorci și să nu găsești diferența – aceasta este simetria. Dacă între mulțimea tuturor simetriilor unui tigla există două traduceri paralele ne-direcționate, atunci se cheamă această placă periodic. De exemplu, înclinările din fig. 6, 7, 10 și 11, și într-adevăr, toate talzile pe care le-am discutat până acum. Cu toate acestea, în toate aceste exemple este ușor să rearanjăm plăcile astfel încât această proprietate să nu mai fie valabilă.

Pernițele periodice sunt caracterizate de prezența așa-numitei zona fundamentală – un astfel de subset de plăci care pot fi obținute prin transferuri paralele ale acestui subset (acestea sunt doar "benzile" noastre care au fost menționate în decizie). Prin urmare, încercând să răspundem la întrebarea dacă este posibil să deschidem întregul avion cu copii ale acestei protoplici, este mai degrabă natural să acționăm după cum urmează. Este necesar să treceți prin toate opțiunile posibile, să vă alăturați țiglelor unul cu celălalt și, dacă la un moment dat a apărut o zonă fundamentală, atunci există un tigla.Și dacă vom enumera toate opțiunile, dar nu găsim o zonă fundamentală, atunci acest prototip nu permite tigla.

Totuși, această metodă de căutare are un dezavantaj semnificativ. Deodată protoplica noastră sa dovedit a fi aperiodice, adică este posibil să se deschidă întreaga plană cu copii, dar toate aceste tilings nu sunt periodice? Apoi, toate căile de a se alătura țiglelor împreună nu vom trece niciodată, pentru că pot acoperi o bucată de dimensiuni arbitrar de mari. Dar nu vom putea găsi nici o zonă fundamentală, pentru că nu există o înclinare periodică. Așa că vom trece prin opțiuni la infinit și nu vom opri niciodată.

Indiferent dacă există prototipuri aperiodice, în prezent nu se cunoaște anumite – postulând acest fapt ipoteza conway nu a fost încă dovedită. Deci, există încă o probabilitate ca algoritmul de mai sus să ne permită să răspundem la întrebarea dacă este posibilă construirea unui pavaj pe baza acestui protoplite sau nu. Cu toate acestea, într-un spațiu tridimensional, o ipoteză similară a fost rezolvată pozitiv, și pe avionul Lobachevsky. În plus, ne costă să creștem numărul de protoplici folosiți la două, deoarece descoperim imediat un exemplu de set aperiodic – faimosul mozaic Penrose (Figura 12).

Fig. 12. Penrose mozaic.Imagine de la ru.wikipedia.org

Dacă nu există nici o certitudine dacă este întotdeauna posibil să înțelegi dintr-o anumită țiglă, dacă admite pavajul avionului sau nu, ar trebui să încerci să iei în considerare un caz mai puțin general și să impui restricții asupra protoplicului. În primul rând, presupunem că toate poligoanele care alcătuiesc tigla sunt convexe. Această condiție se dovedește a fi destul de puternică: se dovedește că numărul de laturi ale unei plăci convexe, care admite pavajele, nu depășește 6. Totuși, și aici există dificultăți serioase.

Fig. 13.

Este ușor să vă asigurați că întregul plan poate fi acoperit cu copii ale oricărui triunghi, precum și cu copii ale oricărui quadrangle – aici nu este necesară nici condiția de convexitate (figura 13). Cu toate acestea, cu pentagonul totul nu este atât de simplu. Studiul pliurilor monoedrice de către pentagone are o istorie bogată, și chiar și acum nu există nicio certitudine totală că această sarcină și-a găsit concluzia logică. Aparent, Carl Reinhard a fost primul care a clasificat în 1918, subliniind cinci tipuri de înclinări pentagonale convexe (Fig.14). Fiecare tip a fost caracterizat de un anumit set de condiții pe laturile și colțurile, care totuși au lăsat o anumită libertate – toate aceste tilante erau "non-rigide".La jumătate de secol mai târziu, în 1968, Richard Kirchner a informat lumea despre descoperirea a încă trei tipuri de tilings, susținând că prin aceste opt tipuri totul este epuizat. Cu toate acestea, el a fost greșit: în 1975, Richard James, după ce a citit un articol de celebrul popularizator de știință Martin Gardner, a găsit un alt tip. Dar o adevărată descoperire în următorii doi ani a fost făcută de gospodina Marjorie Rice, care a citit același articol – a reușit să găsească până la patru tipuri noi de taluzuri monoedrice cu pentagoane convexe.

Fig. 14. 15 înclinări monoedrice ale planului cu pentagoane. Imagine de la forbes.com

Totuși, povestea nu sa terminat: pavajul paisprezecea a fost găsit de Rolf Stein în 1985 – spre deosebire de toate cele precedente, a fost "dur". Și treizeci de ani mai târziu, un grup de cercetători constând din Casey Mann, Jeniffer MacLeod și David von Durey, folosind calcule de calculatoare, au descoperit pavajul paisprezece, care, de asemenea, nu avea un grad de libertate. În cele din urmă, în 2017, Michael Rao a prezentat dovada că nu există alte tangențe pentagonale. Cu toate acestea, pentru a dovedi acest lucru, Rao a folosit un program de calculator special, care provoacă un anumit scepticism într-o parte a comunității științifice, deși a fost reprodus și verificat în mod independent.

O altă abordare a clasificării talonurilor monoedere se bazează pe faptul că ne concentrăm asupra proprietăților plăcilor cu privire la grupul de simetrie. Dacă pentru oricare două plăci într-un trotuar există o simetrie care duce prima placă la cea de-a doua, atunci se numește un astfel de pavaj isohedral. În general, spunem acest lucru k-isohedralîn cazul în care setul de plăci este spart k clase sub acțiunea unui grup de simetrie. De exemplu, înclinările din fig. 13 sunt izoedrice, deoarece fiecare piesă poate fi transformată în oricare alta, fie prin transfer paralel (astfel de plăci sunt vopsite într-o singură culoare), fie prin rotație (astfel de plăci sunt vopsite în culori diferite). Și pavând pe orez. 11 este deja 2 izoedrice: gresiile vopsite în galben pot fi transformate unul în celălalt, astfel încât tigla se auto-combină, la fel cum plăcile albastre pot fi traduse unul în celălalt, dar țigla albastră nu poate fi tradusă în galben. Alte tilings pe care le-am văzut în soluție sunt, de asemenea k-isoedere pentru diferite k. Pentru a vedea acest lucru, le redresăm astfel încât plăcile să poată fi traduse una în alta prin simetria tiglelor atunci și numai dacăatunci când acestea sunt pictate într-o singură culoare (așa cum a fost cu pavaj de condiție, care, după cum am înțeles acum, este de 3-isohedral). După ce am făcut acest lucru, vedem asta pentru unul dintre ei k = 8 (fig.15, stânga), pentru al doilea k = 16 (figura 15, dreapta), iar pentru a treia k = 10 (figura 15, mai jos).

Fig. 15.

Înclinările izoedrice prin poligoane convexe pot fi clasificate. Deci, totul este disponibil:

  • 14 plăci triunghiulare,
  • 56 tigla izoedică cu dale convexe patrulaterale,
  • 24 tigla izoedică prin plăci convexe pentagonale,
  • 13 tigla izoedere cu plăci hexagonale convexe.

Practic, ele sunt "non-rigide" (așa cum se arată în tigla din figura 13). Dar unele dintre ele în timpul deformării nu mai sunt izolate. Astfel, de exemplu, placa din fig. 16: putem schimba dungile orizontale unul față de celălalt, dar după aceea triunghiul cu baza orizontală nu poate fi transformat într-un triunghi cu baza înclinată prin simetrie.

Fig. 16.

Pentru a clasifica k– înclinări izoedrice cu k > 1 este, de asemenea, posibil. Cu toate acestea, precum și pentru tilings cu plăci non-convexe, acest lucru este mult mai complicat, și deja cazul de talonuri 2-isohedra devine dificil de a vedea datorită numărului mare de opțiuni de ramificare. Și despre valorile mari k nu vom vorbi nici măcar.


Like this post? Please share to your friends:
Lasă un răspuns

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: