Divizia de pantofi pitaforici • Nikolay Avilov • Lucrări științifice populare pe "Elemente" • Matematică

Divizia de pantaloni pitaogore

sarcină

Trei pătrate sunt construite pe laturile unui triunghi drept. Această imagine cunoscută pentru o lungă perioadă de timp este uneori numită "pantaloni pitagoreni". construi (busola și rigla) un alt pătrat, astfel încât a împărțit jumătatea zonei fiecăruia dintre pătratele pantalonilor pitagoreni.


Sfat 1

Un exemplu de aranjament pătrat adecvat este prezentat în Fig. 1.

Fig. 1.


Sfat 2

Linia dreaptă care trece prin centrul pătratului o împarte la jumătate.


decizie

Dacă acest triunghi drept este isoscele, atunci problema este rezolvată destul de simplu. Prin urmare, presupunem că picioarele sale sunt diferite.

Așa cum se întâmplă adesea în rezolvarea problemelor de construcție, să începem cu o analiză: analizăm situația în care pătratul necesar este deja construit. Deci, să se dea un triunghi drept ABC cu picioarele BC = o și AC = b (fără pierderea generalității, noi credem asta o > b) și hypotenuse AB = c, pe laturile cărora sunt construite pătratele. lăsa oh1 și oh2 – centrele patratelor construite pe picioare (figura 2). Plasați pătratul necesar KFMN deci la partea lui KN și KF a trecut prin puncte oh1 și oh2 paralel cu picioarele o și b, respectiv. Apoi, sus M acest pătrat se află pe bisectorul unghiului FKN. Rămâne de determinat poziția punctului M pe acest bisector, având în vedere zona pentagonului ABEMP trebuie să fie egală cu jumătate din suprafața pătratului cu partea c (adică (o2 + b2) / 2). lăsa P și E – punctele de intersecție a segmentelor MF și MN cu laturile corespunzătoare ale acestui pătrat.

Fig. 2.

Perpendiculare ale picăturilor: MH pe AB, PL și ET pe MH. Apoi \ (\ unghiul EMT = \ unghiul MPL = \ angle ABC = \ beta \).

Introducem un sistem de coordonate dreptunghiular Xay. Lăsați punctul M are coordonatele (x, y), atunci sunt îndeplinite egalitățile. AH = PL = x, MH = y. În triunghiul LMP avem \ (ML = x \ mathrm % \, \ beta = xb / a \), \ (AP = HL = y-xb / a \). Deoarece \ (TE = BH = c-x \), apoi în triunghi EMT avem: \ (MT = (c-x) \ mathrm % \, \ beta = (c-x) \ frac ab \), apoi \ (BE = HT = y- (c-x) \ frac ab \).

Zona Pentagonului ABEMP este suma zonelor trapezoidale APMH și BEMH. Prin urmare, aria lui (care trebuie să fie egală cu \ (\ frac {c ^ 2} 2 \)) este egală cu suma lui \ (\ frac12 (AP + MH) \ cdot AH + \ frac12 (BE + MH) \ cdot BH \). După substituții, obținem o ecuație importantă:

\ dfrac {c ^ 2} 2 = \ dfrac12 (2y- \ dfrac % a) x + \ dfrac12 (2y- (c -x) \ dfrac ab)

lăsa Q – mijlocul hypotenusei AB. De la distanța de la punct Q la fiecare dintre cele drepte KN și KF este \ ((a + b) / 2 \), atunci Q – punct de intersecție KM și AB. Prin urmare, segmentul KQ paralel cu bisectorul unghiului C triunghi ABC, adică, face un unghi \ (45 ^ \ circ + \ beta \) cu direcția pozitivă a axei x. Atunci coeficientul său unghiular este \ (\ mathrm % \, (45 ^ \ circ + \ beta) = \ frac {\ mathrm % \, \ mathrm % \, 45 ^ \ circ \ mathrm % \, \ beta} = \ frac {a + b} %

Luând în considerare acest punct Q are coordonatele (c/ 2, 0), obținem ecuația acestei linii:

\ (a + b)} {a-b} x- \ dfrac {c (a + b)} {2 (a-b)}.

Rezolvind un sistem compus din această ecuație dintr-o ecuație directă și importantă, aflăm că acest punct M are următoarele coordonate:

\ A \ b \ a \ b \ (\ a \ b \ sqb2 \ sqrt2), \ dfrac {a + b} dreapta].]

Acum puteți continua construcția, care se face în câțiva pași simpli:
1) Construiți un unghi drept cu vârful Kale căror laturi trec prin puncte oh1 și oh2 paralel cu picioarele triunghiului ABC.
2) Construiți bisectorul din acest unghi, trece prin mijloc Q ipotenuză AB.
3) Despre hypotenuse AB construi un punct H astfel încât \ (AH = \ frac % {a-b} (c-b \ sqrt2) \). Construcția de construcții AH este redus la construirea celui de-al patrulea raport proporțional pentru segmente o, \ (a-b) și \ (c-b \ sqrt2 \)
4) Prin punctul H tragem o linie dreaptă, perpendiculară pe ipotentă AB. punct M este punctul de intersecție al acestei perpendiculare și KQ.
5) Din punct M trage razele MF și MNrespectiv paralele cu laturile unui unghi drept cu vârful K.


postfață

Pătratul construit nu este singurul. De fapt, există nenumărate astfel de pătrate. Arată-o.

Evident, este posibil să se construiască unghiurile infinit de multe, ale căror laturi trec prin centrele pătratelor construite pe picioare: vârfurile lor se află pe un cerc cu un diametru oh1oh2. În acest caz, vârfurile trebuie să fie pe arcul care se află în afara celor două pătrate, construite pe picioare (și între ele). Luați în considerare unul dintre aceste unghiuri (în figura 3, acest unghi este redat în roșu). Construim un pătrat, cele două laturi ale cărora se află pe laturile acestui unghi. Este clar că atunci unul dintre vârfurile acestui pătrat se află pe bisectorul unghiului. În stânga în fig. 3 arată cel mai mic astfel de pătrat. Se poate observa că părțile laterale sunt împărțite în jumătate de zona pătratelor construite pe picioare, iar una din vârfuri se află pe partea laterală a pieței mai mici. În acest caz, laturile pătratului roșu sunt tăiate din pătrat, construite pe hypotenuse, un pentagon cu o suprafață de puțin mai mult de un sfert din suprafața sa.

Fig. 3.

Dacă acum "umflăm" pătratul roșu, mărind partea sa, atunci zona pentagonului tăiat va crește continuu până la o zonă aproape de trei sferturi din suprafața pătratului construit pe hypotenuse. În același timp, unul dintre vârfurile pătratului de divizare coincide cu punctul de intersecție al bisectorului cu partea laterală a pătratului construit pe hypotenuse (imaginea din dreapta în figura 3). Astfel, având în vedere continuitatea funcției zonei, conform teoremei Bolzano-Cauchy, se poate afirmacă există o lungime laterală a pătratului de divizare, la care aria pentagonului va fi egală cu jumătate din suprafața pătratului construit pe hypotenuse.

Datorită acestui fapt, este posibil să se dea o structură mai simplă pentru triunghiuri, în care lungimile picioarelor diferă foarte puțin unele de altele.

Luați în considerare această construcție, limitând analiza. Pătratul construit pe hypotenuse, împărțim în 16 pătrate egale (figura 4). De la nod M la un unghi de 45 ° petrec razele perpendiculare unele pe altele MF și MN. Prin centrele oh1 și oh2 pătrate construite pe picioare, tragem linii drepte FK și NKparalel cu razele MN și MF, respectiv. Pătrundeți MNKFîmpărțind în jumătatea zonei fiecăruia dintre cele trei pătrate ale "pantalonilor pythagorean". Vezi pentru tine.

Fig. 4.

Această sarcină a fost propusă la Concursul Creativ al XIII-lea al Profesorilor de Matematică din Rusia. Participanții concursului au aflat că o astfel de construcție este posibilă nu pentru toate triunghiurile cu unghi drept, ci doar pentru cei cu \ (\ mathrm % \, \ angle A \), adică raportul piciorului mai mare cu cel mai mic nu depășește numărul T0 = 1,8393 …, care este rădăcina irațională a ecuației \ (t ^ 2-t ^ 2-t-1 = 0). vârf K împărțind un pătrat cade pe marginea unui pătrat construit pe un picior mai mare, dacă \ (\ mathrm % \, \ unghiul A = t_0 \). Dacă \ (\ mathrm % \, \ unghiul A> t_0 \), atunci vârful K pătratul de divizare cade în interiorul pieței, construit pe un picior mai mare, iar apoi suprafața acestui pătrat nu este împărțită în două.

În concluzie, voi adăuga că sarcina sa născut ca un analog al unui fapt curios în timp ce citim cartea "Matematică Caleidoscop" de către matematicianul polonez G. Steinhaus. În el, el susține că există un cerc pe plan, care înjumățește zonele a trei regiuni de formă arbitrară și oferă un exemplu al unui astfel de cerc pe o hartă geografică care divizează în părți egale trei forme care sunt contururile Austriei, Poloniei și României. Reamintind cele trei pătrate ale "pantalonilor pythagorean" și înlocuind cercul cu patra patra, am formulat problema propusă.


Like this post? Please share to your friends:
Lasă un răspuns

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: