Creșterea exponențială • James Trefil, enciclopedia "Două sute de legi ale universului"

Creșterea exponențială

Expresia "creștere exponențială" a fost inclusă în lexicoul nostru pentru a indica o creștere rapidă, de obicei neîngrădită. Este adesea folosit, de exemplu, pentru a descrie o creștere rapidă a numărului de orașe sau o creștere a populației. Cu toate acestea, în matematică acest termen are un înțeles exact și denotă un anumit tip de creștere.

Creșterea exponențială apare în acele populații în care creșterea numărului (numărul nașterilor minus numărul de decese) este proporțională cu numărul de indivizi din populație. Pentru o populație umană, de exemplu, rata natalității este aproximativ proporțională cu numărul de cupluri de reproducere, iar rata mortalității este aproximativ proporțională cu numărul populației din populație (îl desemnează prin N). Apoi, într-o aproximare rezonabilă,

creșterea populației = numărul nașterilor – numărul de decese

= rn

(Aici r – așa-numitul coeficientul de proporționalitatecare ne permite să scriem expresia proporționalității ca o ecuație.)

Lăsați dN – numărul de persoane adăugate populației în perioada dT, atunci dacă în totalul populației N indivizi, condițiile de creștere exponențială vor fi satisfăcute dacă

dN = rN dT

După ce Isaac Newton a inventat calculul diferențial în secolul al XVII-lea, știm cum să rezolvăm această ecuație N – mărimea populației în orice moment. (Pentru referință: această ecuație este numită diferențială.) Iată soluția lui:

N = N0 ert

unde N0 – numărul de indivizi din populația de origine; și T – timpul scurs din acel moment. Simbolul e indică un astfel de număr special, se numește baza logaritmului natural (și aproximativ 2,7), iar întreaga dreaptă a ecuației este numită funcția exponențială.

Pentru a înțelege mai bine ce este creșterea exponențială, imaginați-vă o populație constând în principal dintr-o singură bacterie. După o anumită perioadă de timp (după câteva ore sau minute), bacteria se împarte în două, dublând astfel mărimea populației. După următoarea perioadă, fiecare dintre aceste două bacterii va fi împărțită din nou în două, iar dimensiunea populației se va dubla din nou – acum vor exista patru bacterii. După zece astfel de dublări, vor exista peste o mie de bacterii, după douăzeci – peste un milion și așa mai departe. Dacă populația se dublează cu fiecare divizie, creșterea va continua pe termen nedefinit.

Există o legendă (cel mai probabil, nu este adevărat) că persoana care a inventat șahul a adus o astfel de plăcere sultanului său că a promis că va îndeplini oricare dintre solicitările sale. Omul le-a cerut sultanului să pună un grâu de grâu pe primul pătrat al unei șahi, două pe a doua, pe al treilea pe șase și așa mai departe. Sultanul, considerând că această cerință este nesemnificativă în comparație cu serviciul acordat lui, a cerut ca dosarul său să vină cu o altă cerere, dar el a refuzat. Desigur, prin dublarea a 64-a, numărul de boabe devenise astfel încât nu ar exista cantitatea necesară de grâu din întreaga lume pentru a satisface această cerere. În acea versiune a legendei care mi-a fost cunoscută, sultanul la acel moment a ordonat inventatorului să fie decapitat. Moralul, așa cum le spun elevilor mei, este acesta: uneori nu ar trebui să fii prea inteligent!

Exemplul de șah (ca și în cazul bacteriilor imaginare) ne arată că nici o populație nu poate crește pentru totdeauna. Mai devreme sau mai târziu, va epuiza pur și simplu resurse – spațiu, energie, apă, orice. Prin urmare, populațiile pot să crească exponențial numai pentru un timp și, mai devreme sau mai târziu, creșterea lor ar trebui să încetinească.Pentru a face acest lucru, schimbați ecuația astfel încât dimensiunea populației să atingă nivelul maxim posibil (care poate fi menținut de mediul extern), rata de creștere încetinește. Să numim această populație maximă K. Apoi ecuația modificată va arăta astfel:

dN = rn(1 – (N/K)) dT

când N mult mai mici Kun membru N / K poate fi neglijat și ne întoarcem la ecuația inițială a creșterii exponențiale obișnuite. Cu toate acestea, când N apropiindu-se de valoarea maximă K, o valoare de 1 – (N/K) tinde la zero, respectiv, tinde la zero și la creșterea numărului de populație. În acest caz, dimensiunea totală a populației se stabilizează și rămâne la nivelul K. Curba descrisă de această ecuație, precum și ecuația în sine, au mai multe nume – S-curba, logistică, Ecuația lui Volterra, Ecuația Lotka-Volterra. (Vito Volterra, 1860-1940 – un matematician și profesor italian remarcabil; Alfred Lotka, 1880-1949 – analist american de matematician și de asigurări.) Indiferent de nume, aceasta este o expresie destul de simplă a mărimii populației, crescând brusc exponențial și apoi încetinind, apropiindu-se de o anumită limită.Și reflectă creșterea numărului de populații reale mult mai bine decât funcția exponențială obișnuită.

Vezi și:

1926Relația Predator-Pradă

Like this post? Please share to your friends:
Lasă un răspuns

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: